(Enem 2014)
Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada.
Dados:
O volume de uma esfera de raio r é \({ \Large{ {4} \over {3} } } \pi r^3 \).
O volume do cilindro de altura h e área da base S é S. h;
O volume do cone de altura h e área da base S é \({ \Large{ {1} \over {3} } } Sh \).
Por simplicidade, aproxime π para 3.
A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é
Como ele deseja criar um pião com a maior altura possível, então a altura do brinquedo deve ser igual à altura do pedaço de madeira, 7 cm
se o cone tem uma altura de 4 cm
então a semiesfera tem 3 cm
Vamos calcular o volume da semiesfera
note que a altura e o raio são iguais, além do mais, o raio da semiesfera e o raio da base do cone também são iguais.
A base de um cone é uma circunferência, que neste caso tem raio de 3 cm, logo sua área é π. 32.
O volume do cone é
\( \Large{ {\pi .3^2.4} \over {3} }\)
36 cm3
O volume de uma esfera de raio 3 cm é
\( { \Large{ {4} \over {3} } } 3.3^3 \)
108 cm3
O volume de uma semiesfera é a metade do volume de uma esfera, logo, o volume da semiesfera do pião tem 54 cm3
O volume total do pião é 54 +36 = 90 cm3
Já o pedaço de madeira tem o formato de um cilindro.
O volume de um cilindro é: v = Abh
Ab: área da base
h: altura
A base é uma circunferência, que neste caso tem raio de 3 cm, logo sua área é π. 32.
E a altura mede 7 cm.
Assim sendo, seu volume é
π. 32. 7
189 cm3
Se o pião tem um volume de 90 cm3 e o pedaço de madeira tinha 189, então 99 cm3 de madeira foram descartados.
