(Fps 2018) Uma cápsula de medicamento tem a forma de um cilindro reto acoplado a duas semiesferas nas bases. Os raios das semiesferas e da base do cilindro são iguais e a altura do cilindro é igual ao diâmetro de sua base. Se a razão entre o volume da cápsula, em cm³, e a área total da cápsula, em cm², é 1/4 (de cm), qual a medida do raio das semiesferas?






Vamos por partes.

1º a cápsula tem a forma de um cilindro reto acoplado a duas semiesferas nas bases.





os raios das semiesferas e da base do cilindro medem r





se os raios das semiesferas medem r, então os diâmetros medem 2r.

Segundo a questão a altura do cilindro é igual ao diâmetro de sua base




O volume de um cilindro é: v = A_bh



A base do cilindro é uma circunferência, logo, a área da base do cilindro em questão é πr².


O volume do cilindro é 2πr³



O volume de uma esfera é: \( V = { \Large{ {4} \over {3} } } \pi r^3 \)




E o volume de uma semiesfera é: \( V = { \Large{ {4} \over {6} } } \pi r^3 \)


Portanto, o volume de uma das semiesferas é \( { \Large{ {4} \over {6} } } \pi r^3 \)


O volume das duas semiesferas é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {4} \over {3} } } \pi r^3 }\)


O volume da cápsula é




Agora vamos calcular a área superficial.

A área lateral de um cilindro é: a_l = 2πrh


A área lateral do cilindro em questão é 4πr²


A área superficial de uma esfera é: A = 4πr²



E área superficial de uma semiesfera é: \( A = \Large{ {4\pi r^2} \over {2} } \)

Portanto, a área superficial de uma das semiesferas é \( \Large{ {4\pi r^2} \over {2} }\)

A área superficial das duas semiesferas é 4πr²




A área superficial total da cápsula é




Segundo a questão \( \Large{ { {v} \over {a} } = { {1} \over {4} }} \), portanto





Gabarito letra c.


Questões