(Ita 1995)
Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm:
Aí estão o cone e a esfera de centro M e raio r
note que MI forma um ângulo de 90º com VB, pois o raio de uma esfera/circunferência é perpendicular a reta tangente.
Vamos traçar a altura do cone
O é o centro da base, nós sabemos disso porque o cone é reto, logo, o vértice está alinhado verticalmente com o centro da base, que é uma circunferência.
Se MO mede r, porque é o raio da esfera, então MV mede 12 -r
A base tem 5 cm de raio
Perceba que nós temos 2 triângulos: VOB e VMI
Aplicando Pitágoras em VOB
122 +52 = VB2
VB = 13 cm
Repare que eles têm 2 ângulos iguais, θ e 90º, logo, são semelhantes.
Sendo assim suas medidas são proporcionais, ou seja, se a razão entre a aresta oposta ao ângulo θ em VOB e a aresta oposta ao ângulo θ em VMI é k, \( { \Large{ {5} \over {r} } } = k \), então, a razão entre a aresta oposta ao ângulo de 90º em VOB e a aresta oposta ao ângulo de 90º em VMI também é k, \( { \Large{ {13} \over {12 -r} } } = k \).
