(Mackenzie 1996)
Seja 36π o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é:
Aí estão o cubo de arestas l e a esfera
note que os vértices do cubo tangenciam a esfera e o centro O dos 2 sólidos são coincidentes.
O volume de uma esfera é: \( v = { \Large{ {4} \over {3} } } \pi r^3 \)
r: raio da esfera
Segundo a questão v = 36π, portanto
\( 36\pi = { \Large{ {4} \over {3} } } \pi r^3 \)
r = 3
Vamos traçar uma reta do vértice A até o vértice B
Note que AB é o diâmetro da esfera, logo AB mede 6, e a diagonal do cubo.
Vamos traçar uma reta de A até C
Aplicando Pitágoras no triângulo ADC nós temos
l2 +l2 = AC2
AC2 = 2l2
Aplicando Pitágoras no triângulo ABC nós temos
AC2 +l2 = AB2
2l2 +l2 = 62
l = 2√3
O volume de um paralelepípedo é simplesmente o produto das 3 dimensões, portanto, o volume do cubo é 2√3.2√3.2√3 que dá 24√3.
A razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é
\( \Large{ {36\pi} \over {24\sqrt 3} } \)
\( \Large{ {3\pi} \over {2\sqrt 3} } \)
\( \Large{ { {3\pi} \over {2\sqrt 3} }. { {\sqrt 3} \over {\sqrt 3} } } \)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \sqrt 3 { \Large{ {\pi} \over {2} } } }\)
Gabarito letra a.
Questões
Utilizamos cookies para oferecer melhor experiência e melhorar o desempenho. Ao navegar neste site, você concorda com o uso de cookies.
