(Uff 1997) Na figura estão representados três sólidos de mesma altura h - um cilindro, uma semi-esfera e um prisma - cujos volumes são V₁, V₂ e V₃, respectivamente.




A relação entre V₁, V₂ e V₃ é:






1º note que o raio do cilindro é igual ao raio da semiesfera





e as dimensões da caixa são 2r, 2r e h





Olhando atentamente para a semiesfera, notamos que h = r (h é a distância do centro da semiesfera até sua superfície, ou seja, o raio)




OK, agora vamos calcular v₁.


O volume de um cilindro é: v = A_bh




A base de um cilindro é uma circunferência, que neste caso tem raio r, logo sua área é π. r².

A altura mede h.

Logo v₁ é v₁ = π. r³





Vamos calcular v₂.

O volume de uma esfera com raio r é: \( v = { \Large{ {4} \over {3} } } \pi r^3 \)


Mas, o volume de uma semiesfera é a metade do volume de uma esfera, portanto, o volume da semiesfera em questão é





Por fim vamos calcular v₃.

O volume de um paralelepípedo, esses sólidos que tem o formato de uma caixa, é simplesmente o produto das 3 dimensões, neste caso, 2r. 2r. r, portanto v₃ = 4r³



Como \( v_2 = { \Large{ {2} \over {3} } }v_1\), v₂ < v₁




Para finalizar, vamos comparar v₁ com v₃.




Então, temos que v₂ < v₁ < v₃




Gabarito letra e.


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