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(Ufrgs 1996) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a água do copo recubra exatamente a esfera.




Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era






A variação na altura de um líquido dentro de um recipiente cilíndrico ao se inserir um ou mais objetos com volume total v pode ser calculada pela fórmula: \( h = \Large{ {v} \over {a_b} } \)

h: variação na altura do líquido
v: volume total dos objetos
ab: área da base do recipiente


Observação: a fórmula considera que o líquido não transborda.




A base de um cilindro é uma circunferência, que neste caso tem raio de 4 cm, logo sua área é π. 42.


O volume de uma esfera é: \( V = { \Large{ {4} \over {3} } } \pi r^3 \)

r: raio




Logo, o volume de uma esfera com 2 cm de raio é

\({ \Large{ {4} \over {3} } } \pi 2^3 \)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {32\pi} \over {3} } } }\)




Portanto, a altura da água variou

\( h = { {\huge{ {32\pi} \over {3} } } \over { \Large{ 16\pi } } } \)



\( h = { \Large{ { {32\pi} \over {3} }.{ {1} \over {16\pi} } } } \)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ h = { \Large{ {2} \over {3} } } }\)




A variação na altura da água é h = hf -hi

hf: altura final
hi: altura inicial




Note que a altura final da água é exatamente igual a “altura” da esfera





Assim sendo

\( { \Large{ {2} \over {3} } } = 4 -h_i \)



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ h_i = {\Large{ {10} \over {3} } }\;cm }\)





Gabarito letra d.


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