(Albert Einstein 2017)
A reta f que passa pelo ponto A(0, 8) e a reta g que passa pelos pontos E(0, –4) e C(4, 0) são perpendiculares e interceptam-se no ponto B, conforme mostra a figura.
Sendo D(0, 0) a origem do sistema de coordenadas cartesianas, a área do polígono ABCD é
Nós precisamos descobrir as equações de f e g.
Para descobrir a equação de uma reta há 2 maneiras:
1º se tivermos 2 pontos por onde ela passa ou
2º se tivermos 1 ponto por onde ela passa +seu coeficiente angular
Reta g:
Para a reta g a 1ª maneira é a melhor.
Nós só precisamos substituir os valores de x e y por onde ela passa, (0, -4) e (4,0), na equação reduzida da reta e resolver o sistema resultante.
Nós sabemos que o n da equação reduzida da reta, y = my +n, determinar onde a reta cruza o eixo y.
Isto implica que, se f intercepta o eixo y em (0,8)
n = 8
Temos também que f e g são perpendiculares.
Se duas retas são perpendiculares, o produto dos coeficientes angulares é -1.
Ou seja, o coeficiente angular de g é 1, e o coeficiente angular de f é mf, então
1. mf = -1
mf = -1
Descobrimos a equação de f y = -x +8
Agora nós devemos determinar o ponto onde f e g se cruzam.
Nada difícil, é só resolver o sistema formado pela equação das retas
\(
\begin{cases}
y = x -4 \;(eq1) \\
\\
y = -x +8 \; (eq2)
\end{cases}
\)
Vamos igualar eq1 com eq2
x -4 = -x +8
x = 6
O x onde f e g se cruzam é 6
Quando x é 6, qual o valor de y ?
É só substituir x em eq1 ou eq2, você que escolhe, fiquemos com eq1
y = 6 -4
y = 2
O y onde f e g se cruzam é 2
As coordenadas de B são (6,2).
Agora podemos calcular a área de ABCD.
1º vamos escolher um vértice de origem, pode ser qualquer um, vamos escolher o C
e escrever suas coordenadas em uma tabela
Agora nós devemos visitar cada um dos vértices, ordenadamente, no sentido horário ou anti-horário, você que escolhe, e escrever as coordenadas de cada um deles na tabela
Vamos no sentido horário
o próximo vértice é o D
cujas coordenadas são (0,0)
o próximo vértice é o A (0,8)
o próximo é o B (6,2)
por fim nós repetimos as coordenadas do vértice de origem
agora nós multiplicamos os valores em diagonais como mostra a figura
então nós multiplicamos os valores em diagonais da direita para a esquerda e multiplicamos o produto por -1
somamos tudo
d = 0 +0 +0 +0 +0 +0 -48 -8
d = -56
e finalmente a área é o módulo da soma dividido por 2
\( a = {\Large{ {|-56|} \over {2} } } \)
a = 28 u. a (u. a = unidades de área)
Gabarito letra c.
O processo utilizado para calcular a área de ABCD serve para muitos outros polígonos como triângulos, pentágonos, hexágonos etc, mas eu acredito que este método só funciona com polígonos convexos.
