(Enem 2015)
Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x2 + y2 -2x –4y –31 ≤ 0.
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não.
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas
Repare que a inequação é muito parecida com a equação normal da circunferência
x2 +y2 -2x -4y -31 ≤ 0
x2 +y2 +Ax +By +C = 0
por isso nós podemos dizer que ela representa uma circunferência.
Sendo que, o x do centro é o coeficiente do x dividido por -2
\( x_c = \Large{ {-2} \over {-2} } \)
xc = 1
O y do centro é o coeficiente do y dividido por -2
\( y_c = \Large{ {-4} \over {-2} } \)
yc = 2
Observação: dividir os coeficientes de x e y por -2 só funciona se os coeficientes de x2 e y2 forem 1.
Se os coeficientes de x2 e y2 forem n, tal que n ≠ 1,1º você divide a equação por n e só depois divide os coeficientes de x e y por -2.
Temos então uma circunferência de centro (1,2)
Em todas alternativas há pelo menos 2 estabelecimentos, e os dois mais próximos de (1,2) são B e C, logo podemos concluir que B e C conseguem ouvir a rádio.
Agora vejamos se A e D também podem.
Comecemos pelo A.
As coordenadas de A são (5,4), vamos substituí-las na inequação
52 +42 -2.5 -4.4 -31 ≤ 0
-16 ≤ 0
A inequação foi satisfeita, portanto a rádio pode ser ouvida em A.
A rádio pode ser ouvida em A, B e C.
Gabarito letra d.
Vamos tirar a prova dos noves e verificar se D pode ouvi-la.
As coordenadas de D são (-4, -3), portanto
(-4)2 +(-3)2 -2.(-4) -4.(-3) -31 ≤ 0
16 +9 +8 +12 -31 ≤ 0
14 ≤ 0
A inequação não foi satisfeita, realmente a rádio não pode ser ouvida em D.
