(Enem 2016)
Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria : um segmento de reta que atravessaria outros bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.
Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto 1m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro. Use 3 como aproximação para π e 1, 4 como aproximação para √2.
O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de
1º vamos descobrir quanto tempo leva para construir a galeria em linha reta.
A distância entre 2 pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) quaisquer é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ d = \sqrt{(x_b -x_a)^2 +(y_b -y_a)^2} }\)
Então a distância entre F (-1,1) e B (1, -1) é
\( d = \sqrt{(-1 -1)^2 +(1 -(-1))^2}\)
d = 2√2 km
Segundo a questão √2 = 1,4 ∴ 2√2 km = 2.8 km = 2.800 m
Se construir 1 m de galeria subterrânea leva 1 h, para construir 2.800 m são necessárias x horas
1 -------- 1
2.800 -- x
x = 2.800 h
Agora vamos calcular quanto tempo leva para construir a galeria via o arco de circunferência FB
O comprimento de uma circunferência é: c = 2πr
Logo, o comprimento de uma semicircunferência é: cs = πr
Note que FB é o diâmetro da semicircunferência, portanto o raio mede r = √2
O comprimento do arco de circunferência FB é
cs = 3.√2
cs = 4,2 km = 4.200 m
Se construir 1 m de galeria pelo arco de circunferência FB consome 0,6, então para construir 4.200 m são necessárias y horas
1 ---------- 0,6
4.200 ---- y
y = 2.520 h
O menor tempo possível para construir a galeria é 2.520 horas.
