(Enem 2018)
Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando "tiros", seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0;4), B(4;4), C(4;0), D(2;2) e E(0;2).
Passando pelo ponto A, qual a equação forneceria a maior pontuação?
1º vamos interpretar o enunciado.
O aluno vai dar um tiro que segue uma reta
ou uma circunferência
ele que determina a trajetória do tiro.
Se a equação for de uma reta o tiro segue a reta
Se a equação for de uma circunferência o tiro segue a circunferência
Acho que já deu para entender, vamos testar as opções.
a) x = 0 ✘
Esta equação descreve uma reta vertical coincidente com o eixo y
ela, portanto, atinge 2 pontos E e A
cada ponto da reta vale exatamente 1 ponto, logo com x = 0 nós conseguimos 2 pontos.
b) y = 0 ✘
Esta equação descreve uma reta horizontal coincidente com o eixo x
ela não passa por A como a questão quer, então não pode ser esta opção.
c) x2 +y2 = 16 ✘
A questão quer que a trajetória passe pela origem e (0,0) não pertence a x2 +y2 = 16.
d) x2 +(y -2)2 = 4 ✘
x2 = (x -0)2, então vamos substituir x2
(x -0)2 +(y -2)2 = 4
Na equação reduzida da circunferência o termo dentro do parênteses com o x, é a abscissa do centro, o termo dentro do parênteses com o y, é a ordenada do centro, e a raiz quadrada do termo independente é o raio
Então podemos concluir que x2 +(y -2)2 = 4 é uma circunferência com o centro em (0,2) e raio 2
Ela passa pela origem e por A e D, totalizando 4 pontos.
e) (x -2)2 +(y -2)2 = 8 ✓
1º será que ela passa pela origem ?
Para descobrirmos é só substituir (0,0)
(0 -2)2 +(0 -2)2 = 8
8 = 8
(0,0) satisfaz a equação, portanto pertence à circunferência.
E será que ela passa por (0,4) ?
(0 -2)2 +(4 -2)2 = 8
8 = 8
equação satisfeita, A também pertence à circunferência.
Você já sabe que esta é uma circunferência com o centro em (2,2) e raio √8
Veja, de (2,2) até A nós nos deslocamos 2 unidades para a esquerda +2 unidades para cima
a mesma distância que nós percorremos até B (2 unidades para a direita +2 unidades para cima)
Observação: a direção muda, mas a distância não.
que é a mesma distância que nós percorremos até C (2 unidades para a direita +2 unidades para baixo)
ou seja, as distâncias de (2,2) até A, B e C são iguais e se A pertence à circunferência, então B e C também pertencem.
Finalmente, concluímos que (x -2)2 +(y -2)2 = 8 passa por A, B e C, totalizando 6 pontos.
Esta última, é a trajetória que fornece a maior pontuação.
