(Enem 2019)
Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.
O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.
Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S, simultaneamente?
Vamos interpretar a questão.
P está em algum lugar da cidade
ele então define um raio de abrangência de 3 km
um outro usuário V qualquer está em algum outro lugar da cidade
e define um raio de abrangência de r km
se P estiver dentro do raio de abrangência de r km definido por V e se V estiver dentro do raio de abrangência de 3 km definido por P então match
Agora, se P estiver dentro do raio de abrangência de r km, mas V está fora do raio de abrangência de 3 km, ou o contrário, se V estiver dentro do raio de abrangência de 3 km, mas se P estiver fora do raio de abrangência de r km, então não dá match
Problema entendido, vamos resolver a questão.
Nós precisamos de um match simultâneo com Q, R e S.
R foi quem definiu o menor raio e por isso será o mais difícil de dar match, então vamos começar por ele.
O bar I é o que está mais próximo de R, então se P estiver em I teremos o match.
Contudo o bar está muito longe de S, será que teríamos um match entre S e P ?
É fácil de ver que a distância de S ao bar I é de 3 km
então S estaria bem no limite do raio de 3 km de P, assim, S e P podem dar match.
E é claro que P estaria dentro dos limites definidos por S
Mas e Q ? Qual a distância do bar para Q ?
A distância entre 2 pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) quaisquer é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ d = \sqrt{(x_b -x_a)^2 +(y_b -y_a)^2} }\)
Então a distância entre I (5,6) e Q (3, 7) é
\( d = \sqrt{(5 -3)^2 +(6 -7)^2} \)
d = √5 km
√5 < 3 km, portanto se P estiver em no bar I ele dá match com Q.
O melhor lugar para P encontrar um(a) companheiro(a) é no bar I.
