(Fuvest 1999)
Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área desse triângulo é 18, a equação de r é:
Só há uma forma de uma reta determinar um triângulo no 1º quadrante, ela é decrescente
se fosse crescente, horizontal ou vertical, ela não determinaria triângulo algum.
Ela intercepta os eixos x e y em A(x, 0) e B(0, y), respectivamente
formando os ângulos α e θ
Sabendo que um triângulo isósceles tem 2 ângulos iguais, então α = θ, e consequentemente OA = OB
Se OA = x
então OB também mede x
e finalmente concluímos que y = x
Logo, B é o ponto de coordenadas (0, x)
Conhecendo as coordenadas dos vértices de um polígono é muito simples calcular sua área.
1º nós escolhemos um vértice de origem, pode ser qualquer um, vamos escolher o A
e escrever suas coordenadas em uma tabela
Agora nós devemos visitar cada um dos vértices, ordenadamente, no sentido horário ou anti-horário, você que escolhe, e escrever as coordenadas de cada um deles na tabela
Vamos no sentido horário
o próximo vértice é o O
cujas coordenadas são (0,0)
o próximo vértice é o B (0, x)
por fim nós repetimos as coordenadas do vértice de origem
agora nós multiplicamos os valores em diagonais como mostra a figura
então nós multiplicamos os valores em diagonais da direita para a esquerda e multiplicamos os produtos por -1
e somamos tudo
d = 0 +0 +0 -0 -0 -x2
d = -x2
Finalmente a área é o módulo da soma dividido por 2, \( a = {\Large{ {|d|} \over {2} } } \).
Como a = 18, então
\( 18 = {\Large{ {|-x^2|} \over {2} } } \)
x = 6
⇩
Agora só precisamos descobrir a equação da reta que passa por (0,6) e (6,0).
Para isso, vamos substituir os valores de x e y na equação reduzida e resolver o sistema resultante.
Acabamos de descobrir a equação da reta y = -x +6 ou x +y = 6
Gabarito letra e.
O processo utilizado para calcular a área do triângulo serve para muitos outros polígonos como quadrângulos, pentágonos, hexágonos etc, mas eu acredito que só funciona com polígonos convexos.
