Login | Cadastrar


Esqueceu a senha ?
(Pucpr) Considere os dados a seguir.

Dois corredores A e B partem do ponto P(0, 0) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O corredor A segue a trajetória descrita pela equação 4y -3x = 0 e o corredor B, a trajetória descrita pela equação x2 +y2 -8x -6y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano.


Assinale a alternativa que contém as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias.






Vamos ilustrar a situação.

4y -3x = 0 representa uma reta e x2 +y2 -8x -6y = 0 é uma circunferência




que se cruzam em Q (x0, y0)




O que a questão quer é x0 e y0.



Para descobrimos o(s) ponto(s) eles se cruzam, é “só” resolver o sistema formado pelas equações da reta e da circunferência

\( \begin{cases} 4y -3x = 0 \;(eq1) \\ \\ x^2 +y^2 -8x -6y = 0 \; (eq2) \end{cases} \)



Vamos isolar y em eq1

\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ y = { \Large{ {3} \over {4} } }x }\)





e substituí-lo em eq2

\( x^2 + { \Large{ ( { {3} \over {4} }x)^2 } } -8x -6 { \Large{ ({ {3} \over {4} } } }x { \Large{ ) } } = 0 \)



\( x^2 + { \Large{ { {9} \over {16} }x^2 } } -8x -{\Large{ {18} \over {4} } }x = 0 \)



\( { \Large{ { {25} \over {16} }x^2 } } -{\Large{ {50} \over {4} } }x = 0 \), multiplicar a equação por 4



\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ { {25} \over {4} }x^2 } } -50x = 0}\)




Precisamos encontrar os valores de x que satisfazem a equação.

Para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau nós utilizamos Bháskara: \( x = \Large{ {-b\; \pm \sqrt{\Delta} } \over {2.a} } \)

O valor do delta é: Δ = b2 -4ac



Portanto

\( \Delta = (-50)^2 -4. { \Large{ {25} \over {4} } }.0 \)


Δ = 502





Substituindo Δ em Bháskara

\( x = \Large{ {-(-50)\; \pm \sqrt{50^2} } \over {2. {\huge{ {25} \over {4} } } } } \)



\( x = \Large{ {+50\; \pm 50} \over { {\huge{ {25} \over {2} } } } } \)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ x = \Large{ {2(+50\; \pm 50)} \over {25} } }\)





Considere

\(x = \Large{ {2(+50\; -50)} \over {25} }\)


x = 0


este valor pode ser ignorado, pois quando x = 0 ⇨ y = 0 e a questão quer o ponto onde elas se cruzam diferente de (0,0).





O único valor de x que nos interessa é \(x = \Large{ {2(+50\; +50)} \over {25} }\), portanto

\(x = \Large{ {2(+50\; +50)} \over {25} }\)


x = 8




Quando x = 8 qual o valor de y ?

Para descobrir basta substituir x em eq1 ou eq2, você pode escolher qualquer uma das duas, fiquemos com eq1

4y -3.8 = 0

y = 6




Finalmente, o ponto de encontro da reta com a circunferência é (8,6)




Gabarito letra e.


Questões

Nos ajude a melhorar

Ficou com alguma dúvida? Gostaria de dar sua opinião?
Seria ótimo se você pudesse avaliar a página.
Encontrou algum erro? Sugerir correção.

-------- Poste seu comentário

0/500