(Udesc 2014) A prefeitura de uma cidade planeja construir um terminal rodoviário em um ponto estratégico da cidade. Para isso será necessário construir duas novas estradas, uma ligando o novo terminal ao aeroporto e outra à principal rodovia de acesso à cidade. Sabe-se que o aeroporto está localizado 8 km a oeste e 6 km ao sul do novo terminal, enquanto que em um trecho sem curvas da rodovia são conhecidos dois pontos de referência A e B. O ponto A dista 2 km a leste e 14 km ao norte do terminal a ser construído, enquanto o ponto B está localizado 8 km a leste e 4 km ao sul do mesmo terminal. Nessas condições, a quantidade mínima x em km de estradas a ser construída pertence ao intervalo:






Bem, então nós temos um terminal






a 8 km Oeste e 6 km Sul, há um aeroporto






a distância de T a O é D




por Pitágoras




A 2 km Leste e 14 km Norte temos o ponto A






a 8 km Leste e 4 km Sul temos o ponto B






por A e B passa uma rodovia





vamos olhar o mapa no plano cartesiano






as coordenadas de T são (x_a, y_a)






assim sendo, as coordenadas de A e B são (x_a +2, y_a +14) e (x_a +8, y_a -4), respectivamente




A rodovia é uma reta que pode ser descrita por uma equação, mas qual seria ?

Para descobrirmos só precisamos de 2 pontos por onde ela passa.


Sem problemas, já temos A e B, agora nós iremos substituir os xs e os ys de A e B na equação reduzida da reta

\( \begin{cases} y_a +14 = (x_a +2)m +n \;(eq1) \\ y_a -4 = (x_a +8)m +n \; (eq2) \end{cases} \)




Vamos isolar y_a nas 2 equações

\( \begin{cases} y_a = (x_a +2)m +n -14\;(eq1) \\ y_a = (x_a +8)m +n +4\; (eq2) \end{cases} \)




Vamos igualar eq1 com eq2



Eu sei que você se lembra como calcular o coeficiente angular de uma reta \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ m = \Large{ {y -y_0} \over {x -x_0} } }\)




Com esta fórmula, nós podemos chegar a equação da reta, tomemos o ponto A (x_a +2, y_a +14), assim sendo x₀ = x_a +2   e   y₀ = y_a +14, portanto




Esta é a equação que nós queríamos, só um detalhe, tudo que está dentro de parênteses, 3x_a +y_a +20, é o c




E finalmente, a distância de um ponto P (x₀, y₀) a uma reta de equação geral ax +by +c = 0 é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ d = \Large{ {|{ ax_0\;+by_0\; +c }|} \over {\sqrt{a^2 +b^2} } } }\)



Como nós queremos a distância de T (x_a, y_a) até a reta então, x₀ = x_a e y₀ = y_a, além do mais a = -3, b = -1 e c = 3x_a +y_a +20, temos tudo o que precisamos, vamos lá




Entre o aeroporto e o terminal, serão construídos 10 km de estrada e entre a rodovia e o terminal serão construídos aproximadamente + 6,33 km, totalizando 16,33 km.




Gabarito letra c.


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