(Upf 2019)
Na figura, estão representados, num referencial xy:
- uma circunferência cuja equação cartesiana é dada por (x -1)2 +(y -1)2 = 20;
- a reta t, tangente à circunferência no ponto de coordenadas (−3 , 3);
- o ângulo α , cujo lado origem é o semieixo positivo x e o lado extremidade é a reta t
O valor da tan α é:
Repare na semelhança da equação dada na questão com a equação reduzida da circunferência
(x -1)2 +(y -1)2 = 20
(x -a)2 +(y -b)2 = r2
o que eu quero que você veja é que
a = 1, b = 1 e r2 = 20
Na equação reduzida da circunferência “a” é a abscissa do centro, “b” é a ordenada do centro, e a
raiz quadrada do termo independente é o raio
(1,1) é o centro da circunferência e √20 é o raio
e lembre-se que o raio é perpendicular a tangente no ponto de tangência
Vamos traçar uma reta de (1,1) até t sabendo que elas formam um ângulo “a” e um ângulo θ com o raio
Agora imagine uma reta x cortada por outra reta t que formam um ângulo α
imagine outra reta s,
paralela a x, que também é cortada t que formando um ângulo a
veja que
a = α (eles são correspondentes)
Ilustração atualizada
Agora veja que a distância de -3 a 1, no eixo x, é 4
e a distância de (-3,3) a (-3,1) é 2
Note que nós temos 2 triângulos um grande
e um menor
Agora vamos colocá-los lado a lado
Eles têm 2 ângulos iguais, 90º e θ, portanto são semelhantes pelo caso AA ( ângulo-ângulo).
Concluímos então que o 3º ângulo do triângulo menor só pode ser α
E finalmente
\( tg\; \alpha = \Large{ {cateto\; oposto} \over {cateto\; adjacente} } \)
\( tg\; \alpha = \Large{ {4} \over {2} } \)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ tg\; \alpha = 2 } \)
Gabarito letra d.
Questões
Utilizamos cookies para oferecer melhor experiência e melhorar o desempenho. Ao navegar neste site, você concorda com o uso de cookies.
