(CefetMG) A figura abaixo representa quatro circunferências de mesmo raio e centros A, B, C e D. Essas circunferências tangenciam-se em um único ponto P, comum às quatro circunferências, e o quadrilátero ABCD é um quadrado cujo lado mede 2√2 cm


A área da região sombreada na figura, em cm², é






Vamos chamar a circunferência com centro em A de c1 e a circunferência com centro em B de c2






c1 e c2 se tangenciam em P e em E como mostra a figura






Vamos traçar os raios AE e AP






digamos que eles medem r






vamos ligar E a P



note que o triângulo EPA, ele tem 2 lados iguais, portanto ele é isósceles.



Vamos traçar a altura relativa ao vértice A que intercepta EP em M






A altura de um triângulo isósceles relativa ao vértice apresenta 3 propriedades importantes que nós devemos conhecer




A 3ª não é importante para esta questão, as que realmente nos interessam são a 1ª e a 2ª.


Da 1ª propriedade nós podemos deduzir que o triângulo AMP é retângulo.

Da 2ª propriedade nós sabemos que, se o ângulo EAP vale w, o ângulo MAP vale w/2




ou seja MAP = EAP/2. Guarde esta informação.





Façamos o mesmo na circunferência c2. Vamos traçar os raios BE e BP






e traçar a altura relativa ao vértice B que também intercepta EP em M



note que os triângulos AEP e EBP têm os 3 lados de mesmo tamanho, portanto eles são congruentes pelo caso LLL.




Logo, suas alturas relativas aos vértices são congruentes, ou seja AM e MB têm o mesmo tamanho, h






veja que AB é um dos lados do quadrilátero ABCD, que segundo a questão mede 2√2, assim sendo



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Agora vamos ligar B a C






BC é outro lado do quadrilátero, logo mede 2√2.

Vamos traçar o raio CP






note que AC é uma diagonal do quadrado.

A diagonal de um quadrado mede d = l√2





Assim sendo, AC mede





Nós temos que



⇩






Vamos chamar o ângulo APE de z e AEP de t






em um triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes, também são congruentes, ou seja z é oposto a 2






e t também






portanto t e z são congruentes ⇨ t = z






O seno de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ sen = \large{ {cateto\; oposto} \over {hipotenusa} } } \)



Logo o seno de z é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ sen\;z = \Large{ {\sqrt 2} \over {2} } } \)




O ângulo cujo seno vale \( \Large{ {\sqrt 2} \over {2} } \) é 45, ou seja z = 45°






A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, logo, soma dos ângulos do triângulo EAP é




⇩






O triângulo EAP tem um ângulo reto, portanto ele é retângulo.

A área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2





Agora nós iremos calcular a área do setor circular EAP






A área de um setor circular é: \(A = \Large{ {\pi.r^2.\alpha} \over {360} }\)




portanto a área do setor EAP é





A área do setor -a área do triângulo EAP é a área compreendida entre o triângulo e a circunferência





vamos chamá-la de A_r





Nós podemos aplicar exatamente o mesmo raciocínio no setor circular EBP






e no triângulo de mesmo nome






e calcular a área da região compreendida entre os dois






O resultado encontrado seria exatamente o mesmo que nós encontramos anteriormente, π -2.

Portanto a área da região destacada




é





Aplicando exatamente o mesmo raciocínio nas outras circunferências, nós descobriremos que, as outras áreas também valem 2π -4.

Finalmente, a área total é





Gabarito letra c.


Questões