(Cotuca 2019) Na figura a seguir, temos um triângulo equilátero ABC e duas circunferências concêntricas de centro D, uma inscrita e outra circunscrita ao triângulo ABC. Dado que o perímetro do triângulo é 6 cm, a medida da área sombreada da figura, em cm², é:







Aí estão as circunferências






Segundo a questão o triângulo é equilátero, logo todos os seus lados têm o mesmo tamanho, x






se o seu perímetro mede 6 cm, então



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Vamos traçar uma reta de C a D






note que CD é o raio da circunferência maior, digamos que mede R






Agora vamos traçar uma reta de D até o ponto onde CB tangência a circunferência menor






DM é o raio da circunferência pequenininha, digamos que mede r






O raio de uma circunferência forma um ângulo reto com a tangente no ponto de tangência, traduzindo, o ângulo DMC é reto






Agora note que CB é uma corda da circunferência grande.

E pelo teorema da secante, o raio perpendicular a uma corda divide-a no meio, ou seja M é o ponto médio de CB, assim sendo MC mede 1 cm






De acordo com o teorema de Pitágoras o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos





A área da região sombreada é a área da circunferência grande -a área da circunferência pequenininha





Gabarito letra e.


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