(Efomm 2017)
Qual é a área de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero, sabendo-se que esse triângulo está inscrito em uma circunferência de comprimento igual a 10 π cm?
Comecemos ilustrando a situação.
Nós temos uma circunferência centrada em O inscrita em um triângulo equilátero
se o triângulo é equilátero, todos os seus ângulos medem 60°
O triângulo está inscrito em outra circunferência
as circunferências são concêntricas.
O comprimento de uma circunferência é: c = 2πr
r: raio
O comprimento da circunferência grande é 10π, então
10π = 2πr
r = 5
Vamos traçar uma reta de C a O
note que CO é o raio da circunferência maior que mede 5
note também que CO é parte da altura do triângulo.
Qualquer altura de um triângulo equilátero apresenta 3 propriedades que nós devemos conhecer
1º é perpendicular ao lado oposto
2º divide o ângulo em 2 ângulos iguais
3º divide o lado oposto em 2 segmentos com o mesmo tamanho
A 1ª e a 3ª propriedades são irrelevantes para esta questão, a que nos interessa é a 2ª.
O ângulo com vértice em C é dividido em 2 ângulos de 30°
Agora vamos traçar uma reta de O até o ponto onde CB tangência a circunferência menor
OM é o raio da circunferência pequenininha, digamos que mede r
O raio de uma circunferência forma um ângulo reto com a tangente no ponto de tangência, traduzindo, o ângulo OMC é reto.
O seno de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ sen = \large{ {cateto\; oposto} \over {hipotenusa} } } \)
Assim sendo, o seno de 30 no triângulo COM é
\(sen\;30 = \Large{ {r} \over {5} } \), seno de 30 nós temos que saber de cabeça, vale 1/2
