(Enem 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.


Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30, 00 o m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50, 00 o m².

De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral ?






Comecemos nomeando alguns pontos






Se os lados do vitral medem 1 m e A, B, C e D são pontos médios, então AE = EB = BF = FC = CG = GD = DH = HA = 0,5 m






A parte escura é composta por 4 triângulos retângulos idênticos: AEB, BFC, CGD e DHA

A área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2, assim sendo, a área de um dos triângulos retângulos é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ A = \Large{ {0,5.0,5} \over {2} } }\)




A área dos 4 triângulos é





Na parte escura nós também temos o losango BPDQ.

Suas diagonais são PQ e BD






segundo a questão AP e QC medem 1/4 do lado do quadrado o que equivale a 0,25 m, cada






Então PQ mede 0,5 m



e BD mede 1 m.



A área de um losango é o produto das diagonais dividido por 2: \( A = \Large{ {D.d} \over {2} } \)




Então, a área de BPDQ é





A área total da parte escura é





A área da parte clara é a área do quadrado -a área a da parte escura.

A área do quadrado é 1.1 = 1 m²




Logo a área da parte clara é





A parte escura custa R$ 30,00/m², então 0,75 custam x





A parte clara custa R$ 50,00/m², então 0,25 custam y





O custo total para fabricar o vitral é





Gabarito letra b.


Questões