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(Epcar 2018) Um artista plástico providenciou uma peça de decoração com características matemáticas conforme representado no croqui a seguir.




Considere que:

1. OA = OB = OC = OD = OE = OF = OG = OH = R

2. Os arcos de circunferência AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, ora têm centro no ponto médio de cada uma das cordas AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, respectivamente, ora têm centro no ponto O.

3. π = 3

4. √2 = 1, 4


A área hachurada no croqui, em função da medida R, é igual a






No enunciado da questão nós lemos o seguinte “Os arcos de circunferência AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, ora têm centro no ponto médio de cada uma das cordas ̅AB, BC, CD, DE, EF, ̅FG, GH, HA, respectivamente, ora têm centro no ponto O”, mas o que isso quer dizer ?

Significa que o arco inferior tem o centro em O






enquanto que o arco superior tem o centro no ponto médio do segmento AB






Outro exemplo. O arco inferior de BC tem centro em O






e o arco superior, tem centro no ponto médio do segmento BC



você já entendeu.




Todos os arcos são idênticos, ou seja, todos eles têm a mesma medida em graus, digamos que eles medem x graus






nós sabemos que os ângulos centrais são iguais aos seus respectivos arcos, portanto se AB mede x o ângulo central correspondente também mede x






se BC mede x o ângulo BÔC também






resumindo, todos os ângulos centrais medem x






Note que a circunferência está dividida em 8 arcos que medem x graus cada um, como uma circunferência tem 360°

8x = 360

x = 45°



⇩






Pela lei dos cossenos em todo triângulo, cada lado depende dos outros 2 e do ângulo formado entre eles



uma coisa que eu quero que você repare é que α é oposto a x.




Assim sendo

\( AB^2 = R^2 +R^2 -2.R.R.cos\;45 \), cos de 45 nós temos que saber de cabeça vale √2/2


\( AB^2 = 2R^2 -2.R^2 { \Large{ {\sqrt 2} \over {2} } } \)


\( AB^2 = 2R^2 -R^2\sqrt 2\), segundo a questão √2 = 1,4


\( AB^2 = 2R^2 -1,4R^2\)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ AB = R\sqrt{0,6} } \)



⇩






Agora vamos calcular a área do triângulo AOB.

Nós podemos calcular a área de qualquer triângulo usando a fórmula: \( A = {\Large{ {1} \over {2} } }a.b.sen\;x\)

a e b: dois lados quaisquer do triângulo
x: ângulo entre a e b




Funciona assim: nós escolhemos 2 lados quaisquer






e o ângulo entre eles






para calcularmos sua área

\( A_t = {\Large{ {1} \over {2} } }R.R.sen\;45\), sen de 45 nós também temos que saber de cabeça vale √2/2


\( A_t = {\Large{ {R^2} \over {2} } }.{\Large{ {\sqrt 2} \over {2} } }\)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ A_t = {\Large{ {R^2\sqrt 2} \over {4} } } }\)





Agora temos que calcular a área do setor circular AOB






A área de um setor circular é: \(A = \Large{ {\pi.r^2.\alpha} \over {360} }\)

r: raio do círculo, pode ser em metros, centímetros, decímetros etc. a unidade de medida que você quiser
α: medida do ângulo central, em graus




Assim sendo, a área de AOB é

\(A_s = \Large{ {\pi.R^2.45} \over {360} }\), segundo a questão π = 3


\(A_s = \Large{ {3.R^2.45} \over {360} }\)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ A_s = \Large{ {3.R^2} \over {8} } }\)





A área entre o triângulo e o arco, que nós chamaremos de Ar




é

\(A_r = A_s -A_t\)


\(A_r = {\Large{ {3.R^2} \over {8} } } -{\Large{ {R^2\sqrt 2} \over {4} } }\), novamente √2 = 1,4


\(A_r = {\Large{ {3.R^2} \over {8} } } -{\Large{ {1,4R^2} \over {4} } }\)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ A_r = {\Large{ {0,2.R^2} \over {8} } } }\)





Agora vamos calcular a área da semicircunferência AB


note que AB é o seu diâmetro, e o seu tamanho nós já calculamos, R√0,6, logo seu raio é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \large{ {R\sqrt{0,6} } \over {2} } }\).



Vamos chamar a área da semicircunferência de Asc

\( A_{sc} = \Large{ {\pi.{\LARGE{ ({ {R\sqrt{0,6} } \over {2} } })^2 } } \over {2} } \)


\( A_{sc} = \Large{ {3{\LARGE{ { {0,6R^2 } \over {4} } } } } \over {2} } \)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ A_{sc} = \Large{ {1,8R^2} \over {8} } }\)





A área do arco superior AB




é

\(A_{sc} -A_r\)


\({\Large{ {1,8R^2} \over {8} } } -{\Large{ {0,2.R^2} \over {8} } }\)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\Large{ {1,6R^2} \over {8} } } }\)





Como nós temos 8 arcos idênticos, nós devemos multiplicar a área do arco por 8

\( {\Large{ {1,6R^2} \over {8} } }.8\)


\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{1,6R^2 } \)





Gabarito letra b.


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