(Espcex 2017) Seis círculos de raio 1 cm são inseridos no pararelogramo MNPQ, de área X cm², de acordo com a figura abaixo.


Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com os lados do pararelogramo, a área X, em cm², é






Comecemos marcando os centros de algumas circunferências






vamos traçar o raio de A até o ponto de tangência com MN






O raio forma um ângulo reto com a tangente no ponto de tangência. Guarde esta informação.

Agora vamos traçar uma reta ligando A a B






AB é o raio da circunferência A +raio da circunferência B, e portanto mede 2






Agora vamos ligar B com C






e C com A






note que o triângulo ABC é equilátero, logo seus ângulos medem 60°






Vamos traçar a altura partindo do vértice A que intercepta BC em F






A altura de um triângulo equilátero é: \( h = \Large{ {l\sqrt 3} \over {2} } \)




Logo, a altura de ABC é



⇩






Agora vamos traçar o raio de B até o ponto onde QP a tangência





A altura do paralelogramo é



⇩






Agora vamos traçar o raio de B até o ponto onde MQ a tangência






note que a soma dos ângulos HBA +60 +CBG +GBH resulta em uma circunferência. Nós sabemos que uma circunferência tem 360° portanto



⇩





A soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo é: s = 180(n -2)




Logo, a soma dos ângulos do quadrilátero HBGQ é





Nós também podemos dizer que a soma dos ângulos de HBGQ é





Ademais, pelo teorema das tangentes, se de um ponto P externo à circunferência traçarmos duas retas que a tangenciam nos pontos A e B então o comprimento PA é igual ao comprimento PB, ou seja QH = QG






Agora vamos traçar uma reta de B a Q






repare que os triângulos QHB e QBG têm os 3 lados de mesmo tamanho, portanto eles são congruentes pelo caso LLL.

Se são congruentes os seus ângulos são exatamente iguais, assim se GQH mede 60° GQB mede 30° (e BQH mede os outros 30°)






A tangente de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ tg = \large{ {cateto\; oposto} \over {cateto\; adjacente} } } \)




Assim sendo, a tangente de 30 no triângulo BQG é





Agora vamos ligar C com D






traçar o raio de D até o ponto onde QP a tangência






outro raio até o ponto de tangência com PN




novamente PI = PJ




Em um paralelogramo os ângulos internos consecutivos são suplementares. Ângulos suplementares são ângulos cuja soma dá 180, ou seja



⇩






Vamos traçar uma reta de D a P






Analogamente ao caso que nós vimos um pouco atrás, os triângulos DIP e DPJ são congruentes bem como seus ângulos, portanto o ângulo DPI mede 60° e DPJ mede os outros 60°






A tangente de 60 no triângulo DPI é



⇩






A base do paralelogramo é





Finalmente, a área do paralelogramo é o produto da base pela altura





Gabarito letra e.


Questões