(Fatec 2019) Uma artesã borda, com lã, tapetes com desenhos baseados em figuras geométricas. Ela desenvolve um padrão retangular de 20 cm por 40 cm. No padrão, serão bordados dois triângulos pretos e quatro triângulos na cor cinza e o restante será bordado com lã branca, conforme a figura.


Cada triângulo preto é retângulo e isósceles com hipotenusa 12√2 cm. Cada triângulo cinza é semelhante a um triângulo preto e possui dois lados de medida 10 cm. Assim posto, a área no padrão bordada em branco é, em cm²






A hipotenusa do triângulo preto é 12√2 cm, como o triângulo é isósceles os catetos têm o mesmo tamanho, digamos que medem x.

Pelo teorema de Pitágoras o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, então nós temos





A área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2.

Logo, a área de um único triângulo preto é





A área dos 2 triângulos pretos é





Vamos paras os cinzas.


Em um triângulo retângulo isósceles os lados de mesmo tamanho são os catetos e o lado com tamanho diferente é a hipotenusa.

E para provar é muito simples.

Considere que a hipotenusa mede 10 cm, um dos catetos mede 10 cm e o outro mede x.

Pelo teorema de Pitágoras nós teríamos





A única forma de tornar a equação verdadeira seria se x = 0.

Contudo, como x o comprimento de um dos lados de um triângulo ele deve ser maior que 0 e o teorema de Pitágoras nunca seria satisfeito.

Reiterando, em um triângulo retângulo isósceles os lados de mesmo tamanho são os catetos e o lado com tamanho diferente é a hipotenusa.




Portanto, os dois lados de 10 cm são os catetos e a área de um único triângulo cinza é





A área dos 4 triângulos cinzas é





A área de todos os triângulos é





A área do tapete é





E finalmente a área em branco é a área do tapete -a área dos triângulos





Gabarito letra b.


Questões