(Idecan 2018)
Na figura a seguir o centro C da circunferência de borda pontilhada coincide com o ponto médio do lado do hexágono inscrito na circunferência de centro em A.
Quanto vale a razão entre a área do círculo limitado pela circunferência de centro C em relação à área do círculo limitado pela circunferência de centro em A?
Algumas vezes as questões não deixam explícito todas as informações de que nós precisamos para resolvê-las, isso é bem comum.
Então nós precisamos utilizar um pouco de experiência, conhecimento e pistas visuais afim de realizarmos algumas deduções.
Neste caso nós precisamos considerar o hexágono como regular.
A circunferência não pontilhada será a circunferência c1 e a outra será a circunferência c2
Digamos que o raio da circunferência c1 é R
Os ângulos formados pelo cruzamento das diagonais do hexágono regular medem 60°
portanto todos os triângulos são equiláteros, e os ângulos de triângulos equiláteros valem 60°
Vamos traçar uma reta de A a C
note que AC é a altura do triângulo e o raio da circunferência pontilhada.
As alturas de um triângulo equilátero apresentam 3 propriedades que nós devemos conhecer
1º são perpendiculares ao lado oposto
2º dividem os ângulos em 2 ângulos iguais
3º dividem o lado oposto em 2 segmentos de mesmo tamanho
Se ela é perpendicular ao lado oposto, então o triângulo ACB é retângulo
O seno de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ sen = \large{ {cateto\; oposto} \over {hipotenusa} } } \)
Logo, o seno de 60 no triângulo ACB é
\( sen\;60 = \large{ {AC} \over {R} } \), seno de 60 nós temos que saber de cabeça, vale √3/2
