(Ufgd)
Um poligono com 20 diagonais é um
A quantidade de diagonais de um polígono é: \( D = \Large{ {n(n -3)} \over {2} } \)
n: quantidade de lados do polígono
Assim sendo, se ele tem 20 diagonais
\( 20 = \Large{ {n(n -3)} \over {2} } \)
\(40 = n^2 -3n\)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{n^2 -3n -40 = 0} \)
Nós precisamos encontrar os valores de n que satisfazem a equação.
E para isso nós utilizamos Bhaskara \( n = \Large{ {-b\; \pm\sqrt \Delta} \over {2a} } \)
Δ é conhecido como fator discriminante da função de segundo grau e seu valor é: Δ = b
2 -4ac
Vamos começar calculando-o
Δ = (-3)2 -4.1.(-40)
Δ = 169
Substituindo em Bhaskara
\( n = \Large{ {-(-3)\; \pm\sqrt{169} } \over {2.1} } \)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ n = \Large{ {3\; \pm13 } \over {2} } }\)
Se \(n = \Large{ {3\; -13 } \over {2} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{n = -5 } \)
Este valor não nos interessa, pois o polígono não pode ter um número negativo de lados.
Agora, se \(n = \Large{ {3\; +13 } \over {2} }\) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{n = 8 } \)
Desse resultado nós podemos concluir que, o polígono com 20 diagonais tem 8 lados, ou seja ele é um octógono.
Gabarito letra c.
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