(Ufrgs 2015)
As circunferências do desenho abaixo foram construídas de maneira que seus centros estão sobre a reta r e que uma intercepta o centro da outra. Os vértices do quadrilátero ABCD estão na interseção das circunferências com a reta r e nos pontos de interseção das circunferências.
Se o raio de cada circunferência é 2, a área do quadrilátero ABCD é:
Comecemos nomeando as circunferências e alguns pontos importantes
O1 é o centro de c1 e O2 é o centro de c2.
O segmento O2C é o raio de c2, que mede 2
o segmento O2O1 é o raio de c1, que mede 2
e O1A também é raio de c1
Agora vamos traçar uma reta de O2 a D
o segmento O2D é raio de c2, e portanto mede 2
vamos traçar outra reta de O1 a D
que é raio de c1, logo mede 2
atente para o triângulo O1O2D
os seus 3 lados são congruentes, portanto ele é equilátero.
Vamos traçar a altura relativa ao vértice D
As alturas de um triângulo equilátero apresentam 3 propriedades importantes que nós devemos conhecer
1º são perpendiculares aos lados opostos
2º dividem o ângulo em 2 ângulos iguais
3º dividem os lados opostos em 2 segmentos com o mesmo tamanho, ou seja, M é o ponto médio de O1O2
A 2ª não é importante para esta questão, as que realmente nos interessam são a 1ª e a 3ª.
Se M é o ponto médio de O1O2 e O1O2 mede 2, então MO2 mede 1
De acordo com o teorema de Pitágoras o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, então nós temos
22 = h2 +12
h = √3
⇩
A distância de M a B também é √3 (nós podemos aplicar exatamente o mesmo raciocínio que nós utilizamos para calcular h).
Portanto a distância DB é 2√3
A área de um losango é o produto das diagonais dividido por 2: \( A = \Large{ {D.d} \over {2} } \)
