(Ufrgs 2015)
O emblema de um super-herói tem a forma pentagonal, como representado na figura abaixo.
A area do emblema é.
Comecemos nomeando alguns pontos importantes
vamos traçar uma reta de E a C
nós formamos um triângulo ECD, vamos isolá-lo
Pela lei dos cossenos em
todo triângulo, cada um dos lados depende dos outros 2 e do ângulo formado entre eles
uma coisa que eu quero que você repare é que α é oposto a x.
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ECD
EC2 = 102 +102 -2.10.10.cos 60, cos 60 nós temos que saber de cabeça vale 1/2
EC2 = 200 -200.1/2
EC2 = 100
EC = 10
⇩
Nós podemos calcular a área de qualquer triângulo usando a fórmula: \( A = {\Large{ {1} \over {2} } }a.b.sen\;x\)
a e b: dois lados quaisquer do triângulo
x: ângulo entre a e b
Então nós podemos escolher 2 lados quaisquer de ECD
e o ângulo entre eles
para calcularmos sua área
\( A_{ecd} = {\Large{ {1} \over {2} } }10.10.sen\;60\), sen 60 nós temos que saber de cabeça vale √3/2
\( A_{ecd} = 50{\Large{ {\sqrt 3} \over {2} } }\)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{A_{ecd} = 25\sqrt 3 } \)
Agora vamos traçar uma reta vertical de A que intercepta EC em F (AF e EC são perpendiculares)
outra reta vertical de B que intercepta EC em G (EG e EC também são perpendiculares)
note que FG tem o mesmo tamanho de AB
se EC tem 10 e FG tem 8, então EF e GC, têm cada um 1
A área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2, ou seja, a área do triângulo AFE é
\( A_{afe} = \Large{ {1.1} \over {2} } \)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ A_{afe} = \Large{ {1} \over {2} } }\)
Note que os triângulos AFE e BGC são
congruentes, consequentemente suas áreas são iguais, e a área do triângulo BGC também mede 1/2.
Portanto, a área dos dois triângulos AFE e BGC é
\(A_t = A_{afe} +A_{BGC}\)
\( A_t = {\Large{ {1} \over {2} } }+{\Large{ {1} \over {2} } }\)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{A_t = 1 } \)
Por último a área do retângulo ABGF é
Ar = 8.1
Ar = 8
Finalmente a área do emblema é
At +Ar +Aecd
1 +8 +25√3
9 +25√3
Gabarito letra c.
Questões
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