(Unigranrio 2017) Um prisma reto tem como base um hexágono regular, que pode ser inscrito em uma circunferência de raio 2 m. Se a altura desse prisma é igual ao dobro do lado do hexágono regular que forma a sua base, então, pode-se afirmar que seu volume, em m³, é igual a:






Então esse é o nosso prisma





A questão diz que o hexágono da base é regular.

Polígonos regulares são equiângulos e equiláteros.

Se são equiláteros, todos os seus lados são iguais, todos medem x.





A base pode ser inscrita em uma circunferência de raio 2 m (vista de cima do prisma)





O volume de um prisma é: V = A_Bh


A área da base é a área do hexágono, então vamos lá.

Note que nós podemos dividi-lo em 6 triângulos iguais (todos tem dois lados que medem 2 metros e 1 lado que mede x).





Agora olhe atentamente para os ângulos centrais a, b, c, d, e e f



Perceba que além de serem iguais, porque os triângulos são iguais, a soma deles dá 360º, portanto, todos eles valem 60º.



Agora, se a área de um triângulo é a_t, a área do hexágono é 6a_t.

Mas quanto vale a_t ?

Vamos destacar um dos triângulos





Note que AB e AC são raios da circunferência e portanto valem 2




A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180, portanto 60 +β +𝜃 = 180

Se AB e AC são iguais então β = 𝜃, logo, 60 +β +β = 180, β = 60



Temos então que todos os ângulos são iguais, assim sendo, o triângulo é equilátero e consequentemente BC também mede 2




A área de um triângulo equilátero é: \( A = \large{ {l^2 \sqrt 3} \over {4} } \)



Portanto, a área de um triângulo é √3


Assim sendo a área do hexágono é 6√3



Segundo a questão “a altura desse prisma é igual ao dobro do lado do hexágono regular que forma a sua base”, portanto, se o lado do hexágono é 2 m, a altura do prisma é 4 m


E finalmente o volume é (6√3)*4 = 24√3




Gabarito letra c.


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