(Enem 2012)
Uma maneira muito útil de se criar belas figuras decorativas utilizando a matemática é pelo processo de autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, criado por um processo recursivo, descrito a seguir:
• Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo removendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos (Figura 2).
• Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3).
• Passo 3: Repete-se o passo 2.
Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um deles.
O número de quadrados pretos restantes nesse momento é
Inicialmente nós temos um quadrado
vamos dividi-lo em 9 partes
e remover a do meio
Ficamos então com 8 quadrados.
Vamos dividir cada um deles em 9 partes.
Neste momento nós temos 9*8 = 72 quadrados.
Vamos remover o quadrado central de cada um
Agora nós temos 72 -8 = 64 quadrados.
Vamos dividir cada um em 9 partes alcançado a marca de 9*64 = 576 quadrados.
Agora é só remover o quadrado do meio de cada um, totalizando 576 -64 = 512
