(Puc) Em uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cuja soma é igual a 9 e a soma dos quadrados de todos os seus termos é 40,5, o seu 4º termo vale:






A soma dos termos de uma P. G infinita é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ S_i = \Large{ {a_1} \over {1 -q} } } \)






Portanto








Nós podemos representar uma PG infinita assim (a₁, a₂, a₃, a₄ …)


Ou então (a₁, a₁.q, a₁.q², a₁.q³ …)



Segundo a questão “a soma dos quadrados dos termos é 40,5”, logo









Note que (1, q², q⁴, q⁶ …) é uma PG infinita sendo o termo inicial 1 e a razão q².


Logo, a soma dos seus termos é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ 1 +q^2 +q^4 +q^6 … = \Large{ {1} \over {1 -q^2} } } \)



Substituindo a₁ e (1 +q² +q⁴ +q⁶ …) em eq2







Agora nós precisamos encontrar os valores de q que satisfazem a equação.


E para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ q = \Large{ {-b\; \pm\sqrt{\Delta} } \over {2a} } } \)


Δ é conhecido como fator discriminante e seu valor é: Δ = b² -4ac






Vamos começar calculando-o







Substituindo em Bhaskara







Se \( q = \Large{ {4\; -2 } \over {6} } \) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{q = \Large{ {1} \over {3} } } \)





Se \( q = \Large{ {4\; +2 } \over {6} } \) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{q = 1 } \)




Este último resultado não nos interessa, pois a questão diz que a progressão é decrescente, então a razão não pode ser 1.





Substituindo q em eq1







Finalmente, o quarto termo da PG é





Gabarito letra d.


Questões