(Pucsp)
Considere a progressão aritmética (3, a
2 , a
3 , ...) crescente, de razão r, e a progressão geométrica (b
1 , b
2 , b
3 , 3, ...) decrescente, de razão q, de modo que a
3 = b
3 e r = 3q. O valor de b
2 é igual
Nós temos que a
2 = 3 +r
E
a3 = 3 +2r.
Ademais b
2 = b
1 .q
b
3 = b
2 .q
3 = b
3 .q ∴ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ b_3 = \Large{ {3} \over {q} } } \)
Segundo a questão a
3 = b
3 , assim sendo
Agora nós precisamos encontrar os valores de q que satisfazem a equação.
E para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ q = \Large{ {-b\; \pm\sqrt{\Delta} } \over {2a} } } \)
Δ é conhecido como fator discriminante e seu valor é: Δ = b
2 -4ac
a: coeficiente do x2
Vamos começar calculando-o
2 -4.2.(-1)
Δ = 9
Substituindo em Bhaskara
Se \( q = \Large{ {-1\; -3 } \over {4} } \) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{q = -1 } \)
Se \( q = \Large{ {-1\; +3 } \over {4} } \) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{q = \Large{ {1 } \over {2} } } \)
De acordo com a questão, (b
1 , b
2 , b
3 , 3, ...) é decrescente.
Há duas possibilidades para uma PG ser decrescente
Veja, 3 é positivo, então a razão deve estar entre 0 e 1.
Concluímos que \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{q = \Large{ {1 } \over {2} } } \)
Portanto, b
2 é
Qual termo da progressão (3, a
2 , a
3 , …) é 12 ?
Segundo a fórmula do termo geral de uma PA
an = a1 +(n -1)r
an : enésimo termo da P. A. 1 :primeiro termo da P. A.
Mas primeiro vamos descobrir r.
Lembre-se que r = 3q, assim sendo
Agora nós podemos fazer a
n = 12
Gabarito letra b.
Questões
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