(Uel 2017) Em uma população totalmente suscetível a uma doença infecciosa, o número de novas infecções C(n), no instante de tempo n, cresce em progressão geométrica de razão q > 0. Isto é, C(n) = C₀qⁿ, onde n é expresso em uma certa unidade de medida e C₀ é a quantidade de infectados no instante inicial n = 0. A seguir, é apresentada uma tabela com exemplos.

Doença	q	Unidade de medida
Sarampo	15	4 dias
Difteria	6	6 dias
SARS	5	5 dias
Influenza (cepa pandêmica de 1918)	3	7 dias
Ebola (surto de 2014)	2	2 semanas

(Adaptado de: reproductionnumber>. Acesso em: 25 maio 2017.)



Suponha que uma cidade totalmente suscetível, na Europa medieval, tenha sido tomada pela Peste Negra, que se iniciou com C₀ = 15 infectados. Considerando que, em 8 dias, a soma de infectados desde o início da infestação totalizou 195 pessoas e que a unidade de medida seja de 4 dias, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a razão q.






Primeiro vamos entender o que a tabela quer dizer.


Tomemos como exemplo a Influenza, a razão de crescimento dela é 3 e a unidade de medida é 7.


Isto quer dizer que, a quantidade de infectados pela Influenza triplica a cada 7 dias.





Então, considere que a Peste tem uma taxa de crescimento q e a unidade de medida é 4.


Assim sendo, no momento inicial havia 15 infectados.


Depois de 4 dias surgem + 15q casos.


E +4 dias depois surgem 15q² casos.

Observação: 15q e 15q² não é a quantidade de infectados em um determinado dia, é a quantidade de novas infecções após 4 e 8 dias respectivamente.




Após 8 dias o total de pessoas doentes era 195, ou seja 15 +15q +15q² =195





Vamos resolvê-la

15 +15q +15q² =195



15q² +15q -180 = 0



q² +q -12 = 0

Agora nós precisamos encontrar os valores de q que satisfazem a equação.


E para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ q = \Large{ {-b\; \pm\sqrt{\Delta} } \over {2a} } } \)


Δ é conhecido como fator discriminante e seu valor é: Δ = b² -4ac

a: coeficiente do q²
b: coeficiente do q
c: termo independente, se ele não aparecer na função nós podemos considerá-lo igual à 0

Vamos começar calculando-o

Δ = 1² -4.1.(-12)



Δ = 49

Substituindo em Bhaskara

\( q = \Large{ {-1\; \pm\sqrt{49} } \over {2.1} } \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ q = \Large{ {-1\; \pm7 } \over {2} } }\)

Se \( q = \Large{ {-1\; -7 } \over {2} } \) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{q = -4 } \)


Segundo a questão, q > 0, então nós podemos desconsiderar este resultado.






Se \( q = \Large{ {-1\; +7 } \over {2} } \) ⇨ \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{q = 3 } \)




Gabarito letra b.


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