(Ufrgs 2017) Na figura abaixo, encontram-se representados quadrados de maneira que o maior quadrado (Q1) tem lado 1. O quadrado Q2 está construído com vértices nos pontos médios dos lados de Q1 o quadrado Q3 está construído com vértices nos pontos médios dos lados de Q2 e, assim, sucessiva e infinitamente.




A soma das áreas da sequência infinita de triângulos sombreados na figura é






Bem, inicialmente nós temos um quadrado com lados medindo 1 u. c (unidade de comprimento)








construímos então um quadrado Q2 dentro de Q1








formando um triângulo T1








Segundo a própria questão E e F são pontos médios de Q1, logo ED mede \( \Large{ {1} \over {2} } \) e DF também








Aplicando Pitágoras nós temos que




⇩








Agora nós construímos outro quadrado Q3 dentro de Q2








formando um triângulo T2








I e J são pontos médios de Q2, portanto eles medem \( \Large{ {1} \over {2\sqrt 2} } \) u. c cada








Aplicando Pitágoras em T2




⇩








Vamos desenhar mais 1 quadrado








temos o triângulo T3






MJ e JN medem a metade dos lados de Q3 ⇨ \( \Large{ {1} \over {4} } \)

E assim por diante.






A área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2 \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \Large{ {c1.c2} \over {2} } } \)



Assim sendo, a área de T1 é







A área de T2 é







A área de T3 é






Note que as áreas dos triângulos formam uma PG de razão \( \Large{ {1} \over {2} } \) sendo o primeiro termo \(a_1 = \Large{ {1} \over {8} } \), o segundo \(a_2 = \Large{ {1} \over {16} } \), o terceiro \(a_3 = \Large{ {1} \over {32} } \) etc.




A soma dos termos de uma P. G infinita é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ S_i = \Large{ {a_1} \over {1 -q} } } \)







Agora é só calcular S_i




Gabarito letra b.


Questões